Un torneo a squadre


   Sappiamo bene che il criterio della proprietà transitiva non sempre stabilisce l'effettiva forza fra tre giocatori. Se in un torneo partecipano, ad esempio, i giocatori A - B - C, se B batte A, poi C batte B non è sempre vero che C finirà anche col battere A.
   Ma cosa accade se a disputare il torneo sono tre squadre di tre elementi ciascuna?
    Prendiamo spunto da un "si racconta".

   Al termine di un importante torneo del 1860 nove grandi scacchisti decidono di formare tre squadre e di sfidarsi.
   Stabiliscono delle semplici regole: ogni giocatore incontrerà, a rotazione, ogni giocatore delle due squadre avversarie. I colori verranno sorteggiati ma si farà in modo che lo stesso giocatore non giochi più di due partite con lo stesso colore dei pezzi. Si assegnerà un punto per ogni vittoria individuale. Ogni vittoria di squadra varrà due punti. Vincerà la squadra che totalizzerà più punti squadra. Amicizie, rispetto e simpatie fra i giocatori concorrono a formare le squadre.
   La squadra A viene capitanata da Steinitz e completata da Bird e Gunsberg.
   La squadra B viene capitanata da Zukertort e completata da Blackburne e Rosenthal.
   La squadra C viene capitanata da Winawer e completata da Paulsen e Mason.
   Si comincia con le partite. Come finirà questo triangolare?
    La storia o il "si racconta" non lo chiariscono.
    Cerchiamo di ipotizzarlo con un divertente gioco matematico.
    Questo è lo schema de Lo Shu, l'antico quadrato magico 3X3 di origine cinese.

4 9 2
3 5 7
8 1 6


   In questo schema la somma di tre numeri (comunque presi, in orizzontale, verticale, diagonale) è sempre uguale a 15 (costante). Dunque, ogni riga, colonna o diagonale ha sempre valore uguale.
   Ipotizziamo che la forza di ogni singolo giocatore - in un torneo a squadre - sia quella del relativo valore del quadrato dello Shu.
   Immaginiamo... scacchiere e pezzi degli scacchi, tra invenzione narrativa e ferree regole matematiche.

   Tramite lo Shu possiamo azzardare un pronostico.
   Nell'ipotesi stabilita in precedenza, (la forza di ogni singolo giocatore corrisponde a quella del relativo valore del quadrato dello Shu), avremo questa formazione e questi valori:

4 9 2
3 5 7
8 1 6



   Questi saranno i risultati:


    SQUADRA A - SQUADRA B:

  Bird (4) - Rosenthal (3) = 1-0
  Zuckertort (5) - Bird (4) = 1-0
  Bird (4) - Blackburne (7) = 0-1
  Rosenthal (3) - Steinitz (9) = 0-1
  Zukertort (5) - Steinitz (9) = 0-1
  Steinitz (9) - Blackburne (7) = 1-0
  Rosenthal (3) - Gunsberg (2) = 1-0
  Gunsberg (2) - Zukertort (5) = 0-1
  Blackburne (7) - Gunsberg (2) = 1-0
   Riepilogo:   la squadra B batte la squadra A per 5-4.

    SQUADRA B - SQUADRA C:

  Rosenthal (3) - Winaver (8) = 0-1
  Mason (1) - Rosenthal (3) = 0-1
  Rosenthal (3) - Paulsen (6) = 0-1
  Zukertort (5) - Winawer (8) = 0-1
  Zukertort (5) - Mason (1) = 1-0
  Paulsen (6) - Zukertort (5) = 1-0
  Winawer (8) - Blackburne (7) = 1-0
  Blackburne (7) - Mason (1) = 1-0
  Blackburne (7) - Paulsen (6) = 1-0
   Riepilogo:    la squadra C batte la squadra B per 5-4.

    SQUADRA A - SQUADRA C:

  Bird (4) - Winawer (8) = 0-1
  Bird (4) - Mason (1) = 1-0
  Paulsen (6) - Bird (4) = 1-0
  Steinitz (9) - Winawer (8) = 1-0
  Mason (1) - Steinitz (9) = 0-1
  Steinitz (9) - Paulsen (6) = 1-0
  Winawer (8) - Gunsberg (2) = 1-0
  Gunsberg (2) - Mason (1) = 1-0
  Gunsberg (2) - Paulsen (6) = 0-1
   Riepilogo:    la squadra A batte la squadra C per 5-4.


   Ogni squadra avrà una vittoria e due sconfitte. Il torneo triangolare finirà, quindi, con sorpresa degli immaginari spettatori presenti, in perfetta parità. (1)
   Per rompere l'equilibrio i tre capitani decidono di inserire un quarto giocatore in ogni formazione e di portare il numero delle squadre a quattro.
   Per fortuna al torneo sono presenti altri grandi giocatori che aderiscono con entusiasmo all'iniziativa.
   Ecco le nuove formazioni del Quadrangolare:
    Squadra A: Steinitz, Bird, Gunsberg, MacDonnel.
    Squadra B: Zukertort, Blackburne, Rosenthal, Englisch.
    Squadra C: Winawer, Paulsen, Mason, Schallopp.
    Squadra D: Mackenzie, De Kolish, De Riviere, Potter.

   Questa la loro disposizione nel quadrato magico 4X4.


16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1


   Si cominciano le partite.
   Le regole sono quelle stabilite in precedenza con un'unica, ovvia, variante: ogni giocatore disputerà due partite con il colore Bianco e due con il colore Nero.
   Continuiamo a seguire questo immaginario torneo servendoci dei quadrati magici.
   Ancora perfetta parità. Delusi i giocatori abbandonano la sala da gioco e l'idea del confronto a squadre.
   La sala si svuota di giocatori e spettatori.
   Al torneo ha, però, assistito un matematico appassionato scacchista. Ha riportato su un taccuino i nomi dei giocatori e le formazioni.
   Ha seguito con attenzione i conteggi dei due tornei precedenti e le bizzarre conclusioni dei quadrati magici.
   Ha una domanda alla quale vuole dare una risposta. Una verifica da fare.
   Cosa accade se si trasla il gioco su una scacchiera tridimensionale? Con pochi tratti esegue uno schizzo.



   Il cubo magico, oppure la scacchiera tridimensionale 4X4.
   Ognuno dei quattro settori del cubo è un quadrato magico ma solo per linee orizzontali e verticali (costante = 130).

SETTORE A
1 48 32 49
60 21 37 12
56 25 41 8
13 36 20 61

SETTORE B
63 18 34 15
6 43 27 54
10 39 23 58
51 30 46 3


SETTORE C
62 19 35 14
7 42 26 55
11 38 22 59
50 31 57 2


SETTORE D
4 45 29 52
57 24 40 9
53 28 44 5
16 33 17 64






   Il matematico calcola rapidamente le diagonali dei settori accertando un valore discontinuo. Le quattro diagonali del cubo hanno, invece, un valore costante:
13+39+26+52 = 130
1+43+22+64 = 130
49+27+38+16 = 130
61+23+42+4 =130.

   Comincia ad eseguire dei rapidi calcoli.
   Cosa succederà in questo caso? Quale delle quattro squadre vincerà?



Note:
(1) Il criterio è valido anche se le squadre si dispongono per colonna anziché per riga. Per rompere l'equilibrio, com'è facile verificare, basta assegnare un punto per la vittoria con il Bianco e due punti per la vittoria con il Nero. Ma questa norma non era certo applicabile in quel lontano 1860. Un altro metodo consiste nello scartare il peggior risultato individuale. In questo caso si avrebbe la facile vittoria della squadra C! (un pareggio e una vittoria).


Carmelo Coco. San Gregorio (CT) - 11/11/2005  Copyright